\documentclass[windows,csize4]{BHCexam}
%\documentclass[windows,csize4,answers]{BHCexam}

\usepackage{multicol} % 分栏
\usepackage{polynom} % 多项式除法
\pagestyle{fancy}
\fancyfoot[C]{\kaishu \small 第 \thepage 页 共 \pageref{lastpage} 页}
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\title{因式分解 - 试根法，因式定理和待定系数法}
%\subtitle{数学文科试卷}
%\notice{满分150分, 120分钟完成, \\	允许使用计算器，答案一律写在答题纸上.}
%\author{Gavin Chen}
%\date{\today}
\usepackage{enumerate} % 编号
\usepackage{cases}

\begin{document}

\maketitle

\begin{groups}
    \group{整式乘法和除法}{}
    \begin{itemize}
        \item 整式乘法
              \begin{equation}
                  \label{eq:sample}
                  (x+1)(2x^2+3x-2) = 2x^3+5x^2+x-2
              \end{equation}
        \item 整式除法 \\
              注：由于\LaTeX \quad Polynom宏包的原因，多项式除法在竖式的表述和国内通常使用的长除法相差一个负号。故我们在长除竖式中的减法在这里需要用加法，下同。\\
              \polylongdiv{2x^3+5x^2+x-2 }{x+1} \\
              既$(2x^3+5x^2+x-2)\div (x+1)=(2x^2+3x-2)$
    \end{itemize}

    \group{因式定理}{}
    \fbox
    {
        \parbox{\textwidth}
        {
            因式定理：如果多项式$f(a)=0$，那么多项式$f(x)$必定含有因式$x-a$；
            反过来，如果$f(x)$含有因式$x-a$，那么$f(a)=0$。
        }
    }
    以\ref{eq:sample}式为例，$f(x)=2x^3+5x^2+x-2=(x+1)(2x^2+3x-2)$包含因式$(x+1)$，所以$f(-1)=0$；
    反过来$(-1)=0$，所以$f(x)=2x^3+5x^2+x-2=(x+1)=(2x^2+3x-2)$包含因式$(x+1)$

    \group{试根法}{}
    \fbox
    {
        \parbox{\textwidth}
        {
            试根法：分解高次多项式$f(x)$，用\uwave{常数项因数}和\uwave{最高次项因数}的比值（即为$a$）去试根，
            若验证$f(a)=0$则$x-a$可整除原多项式，即$(x-a)$为$f(x)$的因式。
        }
    }
    仍然以\ref{eq:sample}式为例，常数项$-2$有因数$\pm 1,\pm 2$，最高此项系数$2$有因数$\pm 1,\pm 2$，
    那么如果存在有理数$a$使得$f(a)=0$，则$a$只可能在$\pm 1, \pm 2, \pm\frac{1}{2}$中选取。
    再看\ref{eq:sample}式， 完全因式分解后为$(x+1)(2x-1)(x+2)$，亦即有$f(-1)=0,f(\frac{1}{2})=0,f(-2)=0$。

    \group{关于试根法中根和系数关系的证明}{}
    设
    \begin{equation}
        \label{eq:fun2}
        f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3 +\cdots +a_n x^n
        (a_n\neq 0, a_i\in \mathbb{Z}, i=0,1,2\cdots n)
    \end{equation}
    存在有理根
    \begin{equation}
        \label{eq:fun2_ans}
        c=\frac{q}{p}
    \end{equation}
    使得$f(c)=0$, 其中$p,q$是互质的整数。将\ref{eq:fun2_ans}带入\ref{eq:fun2}得到
    \begin{equation}
        \label{eq:fun3}
        a_0+a_1\frac{q}{p}+a_2\frac{q^2}{p^2}+\cdots +a_n\frac{q^n}{p^n} = 0
    \end{equation}
    两边都乘以$p^n$可以得到
    \begin{equation}
        \label{eq:fun4}
        a_0p^n+a_1qp^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}q^{n-1}p + a_nq^n = 0
    \end{equation}
    对于等式右边$p$可以整除$0$,故而$p$可以整除等式左边的多项式。又因为其他项都含有因数$p$,只需要考虑
    最后一项$a_n q^n$。而又由于$p,q$互质，所以$p$可以整除$a_n$，亦即$p$是$a_n$的因数。\\
    同理可得$q$是$a_0$的因数。
\end{groups}


\begin{groups}
    \group{试根法和因式定理例题}{}

    \begin{questions}[]
        \question[5] 若多项式$x^2-mx+6$有一个因式是$x-3$，求$m$的值。
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 由题意可知$x=3$时原多项式的值为$0$，故而$m=5$。
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 若多项式$x^3+ax^2+bx+10$有一个因式是$x^2-3x-10$，求$a,b$的值。
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 由题意可知$x=5$和$x=-2$时原多项式的值为$0$，带入后可得关于$a,b$方程组
            解方程组可得$a=-4,b=-7$
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 因式分解：$x^3+x^2-10x-6$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 最高次项系数$1$，常数项$-6$，所以如果存在有理根，可能的值为
            $x=\pm 1, x=\pm 2, x=\pm 3,x=\pm 6$经验证$x=3$时多项式的值为$0$。\\
            \polylongdiv{x^3+x^2-10x-6}{x-3} \\
            所以结果为$(x-3)(x^2+4x+2)$
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 因式分解：$x^3+6x^2+11x+6$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly $(x+1)(x+2)(x+3)$
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 因式分解：$2x^3-5x^2+5x-3$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly $f(\frac{3}{2})=0$ 所以$x-\frac{3}{2}$是一个因式。
            为避免分数计算，乘以$2$后$2x-3$仍然是它的因式。
            最后可得$(2x-3)(x^2-x+1)$
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 因式分解：$f(x)=6x^4+5x^3+3x^2-3x-2$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly $a_0=-2, a_n=6$ 所以$f(x)$的有理根只可能为
            $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{6}$ \\
            经检验$-\frac{1}{2}$是一个根，所以$2x+1$是$f(x)$的因式，可得 \\
            \[(2x+1)(3x^3+x^2+x-2)\] \\
            对$3x^3+x^2+x-2$来说$\frac{2}{3}$是一个根，再一次用试根法最后可得 \\
            \[(2x+1)(3x-2)(x^2+x+1)\]
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 系数为字母的情况因式分解：$x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 常数项为$-abc$故而可能的因数为
            \[\pm a, \pm b, \pm c, \pm ab, \pm bc, \pm ca, \pm abc \]
            经验证$a$是一个根，即$x-a$是一个因式
            \[
                \begin{aligned}
                     & \phantom{=} x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc \\
                     & =(x^3-ax^2)-[(b+c)x^2-a(b+c)x]+(bcx-abc)   \\
                     & =(x-a)[x^2-(b+c)x+bc]                      \\
                     & =(x-a)(x-b)(x-c)
                \end{aligned}
            \]
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 因式分解：$(l+m)x^3+(3l+2m-n)x^2+(2l-m-3n)x-2(m+n)$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 当多项式所有项的系数相加和为$0$，那么$1$一定是它的根；当多项式
            偶次项的系数的和减去奇次项系数的和等于$0$，那么$-1$一定是它的根。\uwave{想一想为什么?}
            $-(l+m)+(3l+2m-n)-(2l-m-3n)-2(m+n)=0$ \\
            用多项式长除法可得
            \[
                (x+1)[(l+m)x^2+(2l+m-n)x-2(m+n)]
            \]
            然后对$(l+m)x^2+(2l+m-n)x-2(m+n)$十字相乘 \\
            \[
                (x+1)(x+2)[(l+m)x-(m+n)])
            \]

        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

    \end{questions}
\end{groups}

\begin{groups}

\end{groups}
\group{待定系数法}{}
\fbox
{
    \parbox{\textwidth}
    {
        定理：一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式的乘积，那么也一定能分解为两个整系数的因式的积。
    }
}
根据以上定理，对于整系数的高次多项式因式分解，我们只需要讨论整系数的情况就可以了。
\begin{groups}
    \group{待定系数法例题}{}
    \begin{questions}

        \question[5] 分解因式：$x^4+x^3+2x^2-x+3$
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 首先尝试试根法，经验证$\pm 1, \pm 3$都不满足条件$f(x)=0$的条件
            故而我们可以设
            \begin{equation}
                x^4+x^3+2x^2-x+3 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \label{eq:q_1}
            \end{equation}
            比较两边系数，可以得到
            \begin{numcases}{}
                a+c=1 \label{eq:q_2} \\
                b+d+ac=2 \label{eq:q_3} \\
                bc+ad=-1 \label{eq:q_4} \\
                bd=3 \label{eq:q_5}
            \end{numcases}
            这种方程组一般不易求解，但由于我们只需要考虑整系数的情况，那么
            \begin{numcases}{}
                b=1 \label{eq:q_6} \\
                d=3 \label{eq:q_7}
            \end{numcases}
            或者
            \begin{numcases}{}
                b=-1 \label{eq:q_6} \\
                d=-3 \label{eq:q_7}
            \end{numcases}
            注：$b=3,d=1$ 和$b=-3,d=-1$忽略，想一想为什么 \\
            将$b=1,d=3$代入后可得$a=-1,c=2$, 故而
            \[
                x^4+x^3+2x^2-x+3 = (x^2-x+1)(x^2+2x+3)
            \]
            若将$b=-11,d=-3$带入原方程组是矛盾的，舍去。故而最终答案唯一，即
            \[
                x^4+x^3+2x^2-x+3 = (x^2-x+1)(x^2+2x+3)
            \]
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        \question[5] 若$13x^3+mx^2+11x+n$能被$13x^2-6x+5$整除，求$m,n$的值.
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 三次除以二次，商式最高为一次。可以设商式为$(x+a)$ 即
            \[
                \begin{aligned}
                     & \phantom{=}13x^3+mx^2+11x+n = (x+a)(13x^2-6x+5) \\
                     & =13x^3+(13a-6)x^2+(5-6a)x+5a
                \end{aligned}
            \]
            比较两边系数，可以得到
            \begin{numcases}{}
                13a-6=m \label{eq:eq2_1} \\
                5-6a=11 \label{eq:eq2_2} \\ 
                5a=n \label{eq:eq2_3}
            \end{numcases}
            \[
            \begin{cases}
                a=-1  \\
                m=-19  \\ 
                n=-5 
            \end{cases}
            \]
        \end{solution}
        \vspace{3.5cm}

        % 此题放最后一题
        \question[5] 已知$x^5-5qx+4r$有因式$(x-c)^2$，试说明$q^5=r^4$的理由.
        \begin{solution}{0.5cm}
            \methodonly 设
            \[
                x^5-5qx+4r=(x-c)^2(x^3+ax^2+bx+\frac{4r}{c^2})
            \]
            展开后比较系数
            \begin{numcases}{}
                a-2c=0 \label{eq:num1} \\
                c^2+b-2ac=0 \label{eq:num2} \\
                ac^2-2bc+\frac{4r}{c^2}=0 \label{eq:num3} \\
                \frac{8r}{c}-bc^2=5q \label{eq:num4}
            \end{numcases}
            由\ref{eq:num1}和\ref{eq:num2}可得$a=2c,b=3c^2$ \\
            代入\ref{eq:num3}和\ref{eq:num4}可得$r=c^5,q=c^4$ \\
            所以$q^5=r^4$
        \end{solution}

    \end{questions}
\end{groups}

\label{lastpage}
\end{document}